La minimizzazione dei costi: funzione Lagrangiana e Saggio di Sostituzione Tecnica

Per  trovare la funzione di minimizzazione dei costi dobbiamo partire dalla funzione Lagrangiana (dal suo ideatore, Lagrange).

Dati C = wL + vK

con:

C: costi

w: prezzo lavoro

L: lavoro

v: prezzo capitale

K: capitale

la funzione di produzione q = f(L,K) = q₀

e il profitto π = R – C ossia:

π = Pf(L,K) – wL – vK

La Lagrangiana si calcola in questi termini:

L = wL + vK + λ (q₀ - f(L,K))

Deriviamo quindi prima per L, poi per K ed infine per λ:

∂L /∂L = w – λ (∂f /∂L) = 0

∂L /∂K = v + λ (∂f /∂K)  = 0

∂L /∂λ = q₀ - f(L,K) = 0

Dividendo poi la prima per la seconda si ottiene:

W/v = (∂f /∂L)/ (∂f /∂K)

che rappresenta il Saggo di Sostituzione Tecnica.

(continua)

La Legge di Gibrat e la Teoria di Jovanovic

 LEGGE DI GIBRAT (1931)

La Legge di Gibrat dice che la probabilità di una variazione percentuale delle dimensioni di un’impresa è la stessa per tutte le imprese in una data industria senza riguardo alle dimensioni iniziali. Matematicamente è espressa come :

St/St-1 = ∑t

con:

St: dimensione impresa al tempo t

St-1: dimensione impresa al tempo precedente

∑t = variabile casuale distribuita indipendentemente da St-1

TEORIA DI JOVANOVIC (1982)

L’età e la dimensione delle imprese influenzano il fallimento.

  

1.      Per ogni data dimensione d’impresa, la sua probabilità di uscita è una funzione decrescente dell’età dell’impresa 

2.      La probabilità di fallimento diminuisce con l’aumento della dimensione dell’impresa. Quando un’impresa è piccola è più facile che muoia (fallisca).

•       Il tasso di crescita proporzionale di un’impresa, condizionale alla sopravvivenza è decrescente con la dimensione. L’efficienza limitata è la ragione di questa relazione negativa
• ·        Per una data dimensione, il tasso di crescita proporzionale è più basso nelle imprese più vecchie. I rendimenti decrescenti all’apprendimento sono la ragione di questa relazione inversa, poiché le imprese più vecchie hanno una minore possibilità di guadagni di efficienza addizionale

Come valutare la struttura di mercato: l'analisi della concentrazione

La struttura dei mercati si valuta con l’analisi di concentrazione.

Dati:

p_i = frazione dei possessori del carattere xi (esempio n° clienti)

q_i = frazione del carattere xi posseduto

p_i = 1/N

A_i = [j=1..i]∑ n(j)

q_i = A_i/A_N

INDICE DI GINI

Per misurare la concentrazione, utilizziamo l’indice di Gini:

IG = [i=1…N-1]∑(p_i – q_i)/[i=1…N-1]∑p_i. Quando IG = 1 si ha la massima concentrazione.

INDICE DI HERFINDAL

Un altro indice con cui si può misurare la concentrazione è l’Indice di Herfindal:

HF ) [i=1..N]∑(x_i/[j=1..N]∑x_j)2. Il minimo valore è 1/N = concorrenza. Il massimo è 1 = monopolio.

ENTROPIA

Si può misurare anche con l’Entropia:

∑x = -(k=1...N)∑ S_(K)ln[S_(K)]

Se è uguale a lnN  allora la concentrazione è minima (concorrenza)

Se è uguale a 0, allora la concentrazione è massima (monopolio)

INDICE DI HALL e TIDEMAN

HT = 1/[(2∑ ix_(i)/(∑ x_(i)) - 1] (con ∑= (i=1..N)∑)

Il minimo è = 1/N (concorrenza)

Il massimo è = 1 (monopolio)

Come già detto, secondo lo schema SCP una alta concentrazione riduce il benessere dell’economia.

Guardando i dati, si osserva come l’economia tende a concentrare il mercato (si osservi ad esempio il mercato delle autovetture o dei cereali in USA).

EVOLUZIONE DELLA CONCENTRAZIONE

Muller e Hamm (1974) hanno notato che la concentrazione è aumentata considerevolmente durante il dopoguerra (dal 49.6% nel 1947 al 62.3% nel 1970).

L’aumentare della concentrazione è causato da fusioni ma anche da quote molto elevate di spesa pubblicitaria, dalla dimensione del capitale, da maggior barriere all’entrata.

Il trend del numero di fusioni tende ad aumentare

Come diminuire i costi medi? Le economie di scala e di varietà

ECONOMIE DI SCALA

Nel breve periodo abbiamo visto che i costi fissi non variano. Un modo per ridurre i costi medi è quindi di aumentare la quantità q degli output.

Si hanno le famose “Economie di Scala”, ovvero quando i costi medi diminuiscono all’aumentare del livello di produzione.

Se δ = AC/MC con AC = costi medi e MC = costi marginali abbiamo che:

Se S>1: economie di scala

Se S=1: rendimenti di scala costanti

Se S<1 di="di" diseconomie="diseconomie" scala="scala" span="span">

ECONOMIE DI VARIETA’: si hanno quando il costo della produzione congiunta di due beni è inferiore alla somma delle produzioni separate (ad esempio, se un fornaio produce pane, pizza e panini, l’intera produzione ha costi minori).

Quindi, data al funzione Y = f (X1,X2) (ove Y = output e X1,X2 = input)

Funzione	X1	X2	Y (f(X1,X2))
f(tX1,tX2)=tf(X1,X2)	1	1	10
f(tX1,tX2)	4	4	45
f(tX1,tX2)>tf(X1,X2)	6	6	52

Nel primo caso abbiamo rendimenti di scala constanti, nel secondo rendimenti di scala crescenti, nel terzo invece rendimenti di scala decrescenti.

Nel caso del lavoro ad esempio (in cui l’input sono le ore di lavoro, i rendimenti di scala sono decrescenti (l’operaio dopo X ore si stanca quindi rende meno).

Se invece prendiamo l’oleodotto, se aumentiamo l’input (ad esempio si aumenta il diametro), anche l’output aumenterà proporzionalmente, quindi i rendimenti di scala sono crescenti.

I vari tipi di costo, le formule, la Scala Minima efficiente, Teorema di Couse e Lemma di Shephard

C = Costi variabili + costi fissi. In formule: Φ(q) + F ove q: quantità, Φ(q) i costi varibili ed F i costi fissi.

Formule:

CMT (Costo medio totale) = (Φ(q) + F)/q
CMV (Costo medio variabile)= (Φ(q))/q
CMF (Costo medio fisso) = F/q
CMA (Costo marginale) = ∂C/∂(q) 

Funzione di costo di breve periodo : possono variare solo i costi variabili.
Funzione di costo di lungo periodo: possono variare sia i costi variabili, sia i costi fissi.

Costi di Transizione: sono le spese che devono essere sostenute per effettuare uno scambio, al di là del prezzo del bene scambiato.

Sunk Cost: il costo che si effettua per entrare nel mercato e non ha un valore residuo quando si esce dal mercato stesso.

Scala Minima Efficiente: è il livello di output che minimizza il costo medio, relativamente alla dimensione della domanda. Se la domanda è elevata rispetto alla SME allora il mercato è concorrenziale. Se la domanda è ridotta rispetto ad essa allora il mercato è monopolistico.

Couse: un’azienda decide quale transazione eseguire in proprio sulla base del suo costo marginale: esegue in proprio una particolare transazione fino al punto in cui i costi dell’organizzazione di una nuova transazione sono uguali ai costi richiesti da un fornitore esterno. Oltre a questo punto è più conveniente affidare a terzi la transazione stessa.

Lemma di Shephard: un leggero aumento del prezzo del lavoro w provoca un aumento sui costi totali, ceterus pari bus, pari approssimatamente all’aumentare di lavoro (L) che l’impresa sta attualmente impiegando: [∂C/∂w] = 1