Calcolo Finanziario: Rendite a rate variabili

Prendendo in considerazione solamente le rendite posticipate, ora calcoliamo il caso in cui le rate delle rendite non siano tutte uguali ma variabili in progressione geometrica.

RATE VARIABILI A PROGRESSIONE GEOMETRICA

t0--------t1---------t2--------t3--------k--------n
0---------R---------Rq--------Rq²-----Rq^k-1----Rq^n-1

con q>0, q diverso da 1

Il valore attuale VA è dato dalla progressione:

VA = Rv+Rqv²+Rq²v³+Rq^k-1v^k+Rq^n-1vⁿ

Da questa si arriva alla formula:

VA = nRv se q = 1 + i

VA = n(R/q) se qv = 1

VA = Rv [(1-(qv)ⁿ]/(1-qv) se qv è diverso da 1

Il montante, nei due rispettivi casi, si ottiene semplicemente (così come per
tutte le rendite) moltiplicando il valore attuale per uⁿ.

M = VA x uⁿ

Spesso si scrive q = 1+g con "g" = tasso di crescita.

Se le rate sono pagate ogni 1/n -esimo di anno, avremo:

i----->in

g----->gn

RENDITA PERPETUA

Nel caso della rendita perpetua abbiamo che:

qv = [(1+g)/(1+i)]

se g > 1 ---> qv > 1; qv ---> ∞ con n--->∞

se g <> 0 <> 0 con n--->∞

con g <>

VA = (R/v) [1/(1-qv)] ----> R/(i+g)

Questa formula è detta "Modello di Gordon".