Calcolo Finanziario: come calcolare il rendimento dei Buoni del Tesoro Poliennali (BTP)

-P------------------------------->N
0---------------------------------τ (3-5-10-30 anni)

I BTP sono titoli con durata all’emissione di 3-5-10 e 30 anni. Prevedono il rimborso in unica
soluzione alla scadenza, il pagamento di cedole fisse semestrali cui va aggiunto un ulteriore guadagno dato dallo scarto di emissione. La ritenuta fiscale è del 12,5 calcolata sullo scarto di emissione. Si ha anche una trattenuta fiscale sugli interessi cedolari, sempre pari al 12,5%.

Nei BTP entra in gioco anche un altro fattore, ossia il rateo, che indica la porzione di cedola già maturata dall’ultima data di stacco cedola e che è di competenza di colui che vende il titolo.

CALCOLO DEL RATEO

Essendo che il titolo è solitamente acquistato durante il periodo di maturazione della cedola quando si acquista un titolo obbligazionario si paga il prezzo del titolo (corso secco, quello riportato sul Sole 24) e, a quest’ultimo, si aggiungono gli interessi maturati (rateo), ottenendo il prezzo tel quel:

prezzo tel quel = corso secco + rateo.

Per calcolare la spesa esatta che bisogna versare per acquistare un titolo obbligazionario, prima delle spese e degli eventuali oneri fiscali, si moltiplica il prezzo tel quel per il valore nominale e successivamente si divide il tutto per 100.

In presenza di m cedole all’anno (nel caso dei BTP m = 2) di importo costante C su base annua, il rateo è calcolato dalla formula:

rateo = (C/m) × (d1/d2)

dove d1 è il numero di giorni tra la data dell'ultima cedola e la data valuta e d2 è il numero di giorni intercorrente tra la data dell'ultima cedola e la prossima data cedola.

CALCOLO DELL'IMPOSTA SOSTITUTIVA

L'imposta sostitutiva è calcolata in base alla frazione di ritenuta fiscale sullo scarto di emissione e sul rateo di interesse che è maturata sino alla data valuta e che il venditore del titolo deve pagare.

-E------------------------------->N
t<---------------t1-------------->t2

t= data emissione

t1= data regolamento

t2= data scadenza

I dati sono:

gg(Data Emissione; Data Regolamento) : d

gg(Data Emissione; Scadenza) : D

Prezzo Emissione (E) : E

Scarto emissione (SE) : SE = 100 − E

Ritenuta Fiscale su Scarto (RF) : RF = 0, 125 x SE

Frazione RF su scarto : RF d/D

Ritenuta Fiscale su Rateo : 0, 125 x Rateo

Imposta Sostitutiva : RF x (d/D) + 0, 125 x Rateo

RENDIMENTO LORDO E NETTO DEI BTP

Le ipotesi sono che:

• Il titolo sia tenuto sino a scadenza;
• Le cedole future, come sono incassate, possano essere reinvestite sino alla scadenza del titolo ad un tasso pari al tasso di rendimento del titolo;

Il Montante M a scadenza risulta:

M= N+ ∑ (C/m) x (1 + TRES)^tn−tk

con ∑ che va da k=1 a n e:

n : numero di cedole da incassare;

C/m: importo della k-ma cedola su base periodale;

tk :data di incasso della k-ma cedola;

N : valore nominale del titolo

TRES : tasso costante a cui sarà possibile reinvestire le cedole future. Tale tasso prende il nome di tasso di rendimento effettivo a scadenza

Si definisce tasso di rendimento del titolo o tasso interno di rendimento (TIR) o tasso effettivo di rendimento a scadenza (TRES) quel tasso che rende uguale il montante dell’investimento iniziale a M. In formule:

P (t; t1, ..., tn) (1 + TRES)^tn−t = N+ ∑ (C/m) x (1 + TRES)^tn−tk

<------montante prezzo tel quel-----> <---- nominale e montante cedole---->

Con opportune operazioni matematiche si arriva alla formula:

P (t; t1, ..., tn) − IS= ∑ [[(C/m) x (1 − γ)]/(1 + TRESnetto)^tk−t] + [[N − γ (N − E)]/(1 + TRESnetto)^tn−t]

con ∑ che va da k=1 a n e:

γ è la ritenuta fiscale (γ = 12, 5%);

E il prezzo di emissione del titolo;

IS l’imposta sostitutiva maturata sino alla data regolamento.

CALCOLO DELLA DURATION

La Duration rappresenta sia la media finanziaria delle scadenze, sia la misura di sensitività, in quanto consente di determinare di quanto varia il prezzo tel quel del titolo a fronte di una variazione del TRES.

Nel primo caso, si avrà che:

D = [ ∑ (tk − t) x [(C/m)/(1 + TRES)^tk−t ]+ (tn − t) x (C/m)/(1 + TRES)^tn−t]]/P

con ∑ che va da i=1 a n e:

tk − t rappresenta il tempo, espresso in anni, che intercorre tra la data valuta (t) e la data di

pagamento della k-esima cedola (tk);

P il prezzo tel quel;

N il nominale rimborsabile a scadenza.

Nel secondo caso invece:

ΔP = − [D/(1 + TRES)] x P x ΔTRES

CALCOLARE LA VOLATILITA' %

Partendo dalla formula appena scritta, si calcola il valore della Duration modificata, DM , del titolo, che è data da:

D_M= D/(1 + TRES)

Essa coincide con il valore della volatilità% (abbreviato volat%) che è riportato sul Sole 24 ore: la volat% indica la variazione percentuale di prezzo del titolo che si avrebbe a fronte di una variazione dello 1% del TRES. In formule:

volat% = [D/(1 + TRES)] x 1% ovvero volat% = D_{M x 1%}

Due considerazioni:

• tanto maggiore la volatilità tanto maggiore il guadagno o perdita che si potrà realizzare a fronte di variazione di mercato dei tassi.
• la duration, e quindi la volatilità, cresce al crescere della vita residua del titolo.