Calcolo Finanziario: Calcolare le rendite

Le rendite consistono in una qualsiasi operazione in cui vi sia un flusso di pagamenti (ad esempio un affitto).

I singoli flussi sono detti rate della rendita.

L’'intervallo di tempo intercorrente tra ogni scadenza e la successiva è detto periodo della rendita.

t0----------t1------t2------tn

0-----------a1-----a2------an

con t= vari momenti di pagamento

a= quota di pagamento (ad esempio dell'affitto)

Vi sono due tipi di rendite, anticipata e posticipata, a seconda che il pagamento sia versato all'inizio o alla fine di ciascun periodo.

Il valore attuale VA si calcola partendo dalla formula (non metto la dimostrazione):

∑ q^k = (1-qⁿ⁺¹ /(1-q)) con q diverso da 0 e da 1. ∑ va da k=0 a n.

Se si parte da k=1:

∑ q^k = (1-qⁿ⁺¹ /(1-q)) - 1 ------> ∑ q^k = q x (1-qⁿ /(1-q))

Dopo questa mini dimostrazione matematica, arriviamo al sodo: utilizzando la ormai nota formula del fattore di montante a interessi composti f(τ) = (1+i ) ^τ fissiamo

v = 1/(1+i) e u = 1+i

La formula per il calcolo del valore attuale VA è:

VA = ∑ 1 x (1/1+iⁿ) per k=1 a n. Segue che VA = ∑ vⁿ

Se si parte da k = 1,

VA = ∑ (1-vⁿ)/i

VA E MONTANTE DELLA RENDITA ANNUA UNITARIA POSTICIPATA

Partendo dalla formula:

a_n|i := v + v2 +......vn = (1-vⁿ)/i

a questa si aggiunge l'importo della rata R che verseremo ad esempio ogni mese:

VA = R x a_n|i ----> R (1-vⁿ)/i

Per quanto riguarda il montante:

s_n|i : u^n-1 + ....... u + 1 = a_n|i + uⁿ

a questa si aggiunge l'importo della rata R che verseremo ad esempio ogni mese:

M = R x s_n|i = R x a_n|i + uⁿ

VA E MONTANTE DELLA RENDITA ANNUA UNITARIA ANTICIPATA

La differenza è che la prima rata la si inizia a pagare da subito e non dopo un certo lasso di tempo (ad esempio un mese). Nella formula si somma una "u" alla formula utilizzata per la rendita posticipata:

VA= R x a_n|i + u

M = R x s_n|i + u

RENDITA PERPETUA POSTICIPATA

Mediante procedimenti matematici (limiti) si arriva alla formula:

a_n|i = 1/i

RENDITA PERPETUA ANTICIPATA

Mediante procedimenti matematici (limiti) si arriva alla formula:

a*_{n|i = (1+i)/1}