Calcolo Finanziario:come calcolare il rendimento di un Zero Coupon Bond (ZCB) o BOT

I titoli Zero Coupon Bond (ZCB) (titolo a cedola zero, che più comunemente vengono chiamati BOT) cono caratterizzati da:

• Un valore nominale N
• Una durata τ
• Un prezzo di sottoscrizione P

-P------------------------------->N
0---------------------------------τ

I BOT (Buoni Ordinari del Tesoro) sono titoli privi di cedola di durata inferiore all’anno e il cui
rendimento è dato dalla differenza tra prezzo di sottoscrizione (o di acquisto sul mercato secondario) e il valore nominale di rimborso.

CONVENZIONE PER LA MISURAZIONE DEL TEMPO

t------------------------T

τ = ACT/360 -----> [gg(t,T)]/360 con (t,T) = numero effettivo di giorni (ricordo che nel caso il BOT scadesse di sabato o domenica la data di rimborso viene spostata al lunedì).

.

.

CALCOLO DI RENDITA PER I BOT

Calcolare la rendita di un BOT non è difficile come potrebbe sembrare: premesso che in tutti questi casi si presuppone di detenere il BOT sino a scadenza (si dice quindi che sono tutti rendimenti ex-ante).

Avendo come ipotesi che :

• t = data di acquisto
• T = data di rimborso
• τ = T - t ----> τ = ACT/360
• N = valore nominale
• P(t,T) = prezzo di acquisto

-P(t,T)------------------------------->N

t<------------- τ = T - t ------------->T

Per quanto riguarda i BOT vengono analizzati quattro differenti casi riassunti in questa tabella:

	EMISSIONE	MERCATO SECONDARIO
RENDIMENTO LORDO	A) Non ci sono differenze sostanziali	C)Non ci sono differenze sostanziali
RENDIMENTO NETTO	B) Tasse 12,5% X scarto di emissione Commissioni	D) Tasse: Imposta sostitutiva Commissioni

[per mercato secondario si intende il mercato degli azionisti, ossia se ad esempio io vendo il mio BOT prima della sua scadenza, esso va nel mercato secondario e verrà acquistato da un altro azionista. In pratica si acquista un BOT "usato").

A)

-P(t,T)------------------------------->N

t-------------------------------------T

r(t,T) (rendimento) = [1/(t-T)] [(N/P) - 1]

con: τ = T - t

Il risultato è il rendimento lordo semplice annuo nell'ipotesi di acquistare il BOT in t e detenerlo sino alla scadenza T.

B) Come ipotesi si ha:

• Il prezzo lordo di acquisto P(t,T)
• La ritenuta fiscale RF (pagata anticipatamente) che è uguale a 0,125 X lo scarto di emissione [N - P(t,T)]
• Il prezzo al netto di acquisto P(t,T) + RF

r^netto(t,T) = [1/(T-t)] [(N/(P(t,T)+RF)) - 1]

C) E' uguale al caso A, con la differenza che il BOT è acquistato dopo la sua emissione.

D) Come ipotesi si ha:

• Il prezzo lordo P_lordo
• Il prezzo netto P_netto che è uguale a prezzo lordo più l'imposta sostitutiva: P_lordo + I.S.(t)
• Un tempo iniziale s all'emissione, un t all'acquisto e uno finale T al rimborso

-Emissione E--------Acquisto P(t,T)---------->Rimborso N

s------------------------------t------------------------------T

Il tempo che da t va a T lo si indica con d, mentre il tempo totale (da s a T) lo si indica con D.

Avendo:

• E = prezzo di emissione
• N = prezzo nominale
• RF (ritenuta fiscale) = 0,125 (N - E)
• d = gg (t,T) --> giorni fra t e T
• D = gg (s,T)
• I.S. (t) = (d/D) RF
• P_netto= Prezzo quotato sul mercato secondario + I.S.

Si ottiene che:

r^netto = (1/T-t) [(N/P(t,T)+IS(t)) - 1]

Essendo P(t,T)+IS(t) il prezzo netto, avremo:

r^netto = (1/T-t) [(N/P_netto)- 1].